Teoria y Problemas Resueltos sobre Triangulos

1. De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

Resolución de un triangulo conociendo dos lados y el angulo comprendido

2. De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

Resolver un triángulo conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

3. Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No hay solución.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

3. sen B < 1. Una o dos soluciones

Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

4. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

Resolver un triángulo conociendo los tres lados

5. Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

6. Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 500 m.

Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 72º 18' y C= 60º 32'.

También se mide el ángulo HAB = 62º 5'

Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible

7. Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 200 m.

Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'.

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

8. Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m.

Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'.

También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.

9. Triangulos Rectangulos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos.

Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo

Catetos

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menoresdel triángulo.

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Teoremas

Del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

De la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

De Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.









Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos:

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

2. Se conocen los dos catetos

3.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Ejercicios

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m




De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m




De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m




De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m




Problemas propuestos de Triangulos rectangulos:

1. En un Triángulo Rectángulo un cateto mide 12 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 30^o. ¿Cual es la longitud de su Hipotenusa? Redondea tu respuesta a un decimal.
A) 12 cm
B) 6 cm
C) 10.4 cm
D) No esta la respuesta

2. La base de un triángulo isósceles mide 80 cm y los lados iguales 100 cm. Calcula la medida de sus ángulos iguales. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 53.1^o
B) 23.6^o
C) 66.4^o
D) 36.9^o

3. Si sabemos que en un triángulo rectángulo sus catetos miden 15 cm y 12 cm. Hallar la medida de los ángulos agudos. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 58^o y 32^o
B) 53.1^o y 36.9^o
C) 51.3^o y 38.7^o
D) No esta la respuesta

4. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 12.9 cm
B) 4.7 cm
C) 8 cm
D) 9.4 cm

5. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 5 m de su pie vemos la parte más alta bajo un ángulo de 75º. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 18.7 m
B) 1.3 m
C) 5.2 m
D) 19.3 m

6. Andrés mide 175 cm y su sombra 105 cm. ¿Qué ángulo forman en ese instante los rayos de sol con la horizontal? Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 31^o
B) 59^o
C) 53.1^o
D) 36.9^o

7. Calcula la altura de una casa si sabemos que en el momento que el sol se encuentra a una altura de 55º con respecto a la parte superior de la casa este proyecta una sombra de 8 m. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 11.4 m
B) 5.6 m
C) 6.1 m
D) 8.7 m

8. Un poste de 6 m de altura es alcanzado por un rayo partiéndolo a una altura “h” del suelo. La parte superior se desploma quedando unida a la parte inferior formando un ángulo de 60º con ella ¿Cuánto mide la parte rota más larga del poste? Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 6 m
B) 2 m
C) 4 m
D) 3.2 m

9. El viento troza un árbol, la punta se apoya en el suelo, en un punto situado a 10 m del pie, formando un ángulo de 30º con el plano horizontal. ¿Cuál era la altura del árbol?. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 17.3 m
B) 5.7 m
C) 25.8 m
D) 14.2 m

10. Desde una altura de 2500 m un piloto observa la luz de un aeropuerto bajo un ángulo de depresión de 40º. Determina la distancia horizontal entre el avión y el aeropuerto. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 2097.7 m
B) 2979.4 m
C) 3889.3 m
D) 3263.5 m

11. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 62.4 cm²
B) 144 cm²
C) 72 cm²
D) 124.8 cm²

12. Calcula el área del octágono regular de 8 cm de lado. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 309 cm²
B) 256 cm ²
C) 512 cm ²
D) 106 cm ²

13. Se sabe que un faro tiene una altura sobre el nivel del mar de 145 m. Desde un barco en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 15º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa? Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 541.1 m
B) 38.9 m
C) 560.2 m
D) 150.1 m

14. Dos amigos van a subir una montaña de la que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación y obtuvieron que era de 30º. Han avanzado 300 m hacia la montaña y han vuelto a medir y ahora es de 45º. Calcula la altura de la montaña. Redondea a un decimal tu respuesta.
A) 450.5 m
B) 409.8 m
C) 389.5 m
D) No esta la respuesta

Clave de Respuesta:

1.B → 2.C → 3.C → 4.D → 5.A→ 6.B → 7.A→ 8.C→ 9.A → 10.B →11.A → 2.A → 13.A →14.B