Ecuaciones Algebraicas

Introducción

Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática. Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se escribe:

= 1

no significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual en matemática.

A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =. Cuando se escribe:

y

Se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente. En el primer caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la igualdad x ² – 9 = 0 representen al mismo número?

Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variable, se llama identidad. Aquella que es válida sólo para algunos valores, recibe el nombre de ecuación condicional. Otra gran diferencia entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Ambas son operaciones muy importantes en matemática; sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en este capítulo.

Son algunos ejemplos de identidades, las expresiones:

1) 6 + 11 – 5 = 12

2) x + 7 = 7 + x

3) ( x ² – 1 ) ² = x ⁴ – 2x ² + 1

4) 2x + 4 – 5x = 1 – 3x + 3

Son algunos ejemplos de ecuaciones, las expresiones:

1) x – 15 = 12

2) x ² + 7x = – 6

3) 4)

Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación.

Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de x son iguales. Es costumbre llamar a la variable de una ecuación incógnita.

Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección. Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la ecuación:

x – 5 = 10

tiene por raíz a x = 15. Por otro lado, resolver la ecuación:

x ² – 11x + 10 = 0

Es ya un problema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego, hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las soluciones. En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres ecuaciones siguientes son equivalentes:

4x – 20 = 0 4x = 20 x = 5

Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:

4x – 20 = 0 es de primer grado

x ² – 11x + 10 = 0 es de segundo grado

y ³ + 2y ² – y – 2 = 0 es de tercer grado

t ⁴ - 5t ² + 4 = 0 es de cuarto grado

Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen expresiones racionales, como por ejemplo:

A este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional.

Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales. Por ejemplo,

En este capítulo se analizarán los siguientes tipos de ecuaciones algebraicas:

 

1.- De primer grado

2.- De segundo grado

3.- Racionales que conducen a ecuaciones de primer o segundo grado

4.- Irracionales

Ecuaciones algebraicas de primer grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y a ≠ 0. Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:

1.- Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.

2.- Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, no varían sus soluciones.

Ejemplo1:

Considérese la ecuación: 7x – 4 = 3x + 8

sumando 4 a ambos lados, se tiene: 7x = 3x + 12

restando 3x a ambos lados, se tiene: 4x = 12

dividiendo entre 4 a ambos lados, luego: x = 3

Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la

ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una identidad; así, en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta:

7x – 4 = 3x + 8

7(3) – 4 = 3(3) + 8

21 – 4 = 9 + 8

17 = 17 lo cual es cierto.

 

Ejemplo ilustrativo

Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b cualquier real diferente de cero

7)

8)

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )

Solución:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

11y – 81 = 72y + 102 agrupando términos semejantes

11y = 72y + 102 + 81 sumando 81 a ambos lados

11y = 72y + 183 agrupando términos semejantes

11y – 72y = 183 restando 72y a ambos lados

– 61y = 183 agrupando términos semejantes

dividiendo entre – 61 ambos lados

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6 eliminando los paréntesis

x – 1 = 5x + 17 agrupando términos semejantes

x = 5x + 18 sumando 1 a ambos lados

x – 5x = 18 restando 5x a ambos lados

– 4x = 18 agrupando términos semejantes

dividiendo entre – 4 y simplificando

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

2t – 10 = 3 – t – 4 eliminando los paréntesis

2t – 10 = – t – 1 agrupando términos semejantes

2t = – t + 9 sumando 10 a ambos lados

2t + t = 9 sumando t a ambos lados

3t = 9 agrupando términos semejantes

t=3 dividiendo entre 3 ambos lados

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

x – { 5 + 3x – [ 5x – x – 6 ] } = – 3 eliminando los paréntesis

x – { 5 + 3x – 5x + x + 6 } = – 3 eliminando los corchetes

x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = – 3 eliminando los paréntesis

2x – 11 = – 3 agrupando términos semejantes

2x = 8 restando 11 a ambos lados

x=4 dividiendo entre 2 ambos lados

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b ≠ 0

5bx + 25b ² = 4b ² – 2bx multiplicando

7bx + 25b ² = 4b ² sumando 2bx a ambos lados

7bx = – 21b ² restando 25b ² a ambos lados

x = – 3b dividiendo entre 7b ambos lados

7)

El mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, y 5 es 60. Multiplicando por 60 todos los términos de la ecuación, se tiene:

30(x-1)-20(x-2)-15(x-3)=-12(x-5)

30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = – 12x + 60 eliminando los paréntesis

– 5x + 55 = – 12x + 60 a agrupando términos semejantes

7x + 55 = 60 sumando 12x a ambos lados

7x = 5 restando 55 a ambos lados

x = 5 / 7 dividiendo entre 7 ambos lado

8)

El mínimo común múltiplo de 6 y 4 es 12. Multiplicando por 12 todos los términos de la ecuación, se tiene:

48 – 2( 10x + 1 ) = 48x – 3( 16x + 3 ) efectuando ÷ y ×

48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9 eliminando los paréntesis

46 – 20x = – 9 agrupando términos semejantes

– 20x = – 9 – 46 restando 46 a ambos lados

– 20x = – 55 agrupando términos semejantes

x = 11 / 4 dividiendo entre – 20 y simplificando

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 ) eliminando los paréntesis, se tiene

6x + 15 = 6x + 12 restando 6x a ambos lados, se obtiene

15 = 12 lo cual es falso.

Como no hay valor que satisfaga la ecuación, entonces se dice que la solución de la ecuación es vacía cuyo símbolo es Ø.

Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma:

ax ² + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variable o incógnita elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo tres términos, es decir existen ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos. Debido a lo expuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos, que son:

1.- b = 0 y c = 0 ax ² = 0

2.- b = 0 y c ≠ 0 ax ² + c = 0

3.- b ≠ 0 y c = 0 ax ² + bx = 0

4.- b ≠ 0 y c ≠ 0 ax ² + bx + c = 0

Estudiando caso por caso, se tiene:

Primer caso: Dada ecuación ax ² + bx + c = 0, si b = 0 y c = 0, entonces

ax ² = 0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es x = 0.

Ejemplos: 1) 3x ² = 0 2) =0 3) – 3x ² = 0

Segundo caso: Dada ecuación ax ² + bx + c = 0, si b = 0 y c ≠ 0, entonces

ax ² + c = 0. En cuanto a a y c, se presenta dos posibilidades, que son:

1.- a y c tienen igual signo

2.- a y c tienen diferente signo

1.- Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales, pues la suma algebraica de dos términos (ax ² + c) es diferente de 0. La solución pertenece a los números complejos, y es:

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 5x ² + 10 = 0

2) – 7x ² – 7 = 0

Solución:

1) 5x ² + 10 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja:

La solución es:

2) – 7x ² – 7 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja:

la solución es:

2.- Si a y c tienen diferente signo, la solución pertenece a los números reales, y es:

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 4x ² – 16 = 0

2) 5 – 3x ² = 0

Solución:

1) 4x ² – 16 = 0

Dividiendo entre 4 toda la ecuación, se obtiene: x ² – 4 = 0

Factorizando la diferencia de cuadrados: ( x – 2 )( x + 2 ) = 0

Aquí vale la pena preguntarse ¿Cuándo el producto dos números da 0? La respuesta es sencilla, simplemente cuando uno de ellos es 0, es decir:

x – 2 = 0 ; o x + 2 = 0

Si x – 2 = 0 ; o x = 2

Si x + 2 = 0 ; o x = – 2

La solución de la ecuación 4x ² – 16 = 0 es el conjunto , , que puede escribirse de la siguiente forma .

2) 5 – 3x ² = 0

Multiplicando por ( – 1 ) la ecuación, se obtiene: 3x ² – 5 = 0

La nueva presentación es similar al ejemplo anterior, que puede resolverse de la siguiente manera:

Sumando 5 a ambos lados de la igualdad 3x ² = 5

Dividiendo entre 3 la ecuación x ² =

Aquí vale la pena preguntarse ¿Qué números elevados al cuadrado dan

? La respuesta es sencilla, simplemente la raíz cuadrada de

y recordando que cualquier número elevado al cuadrado resulta positivo, entonces la solución de la ecuación 5 – 3x ² = 0 es el conjunto

. La ecuación tiene dos valores de x que la satisfacen, que son y

 

Tercer caso: Dada ecuación ax ² + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c = 0, entonces ax ² + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizando la misma resulta:

ax ² + bx = 0 → x( ax + b ) = 0

y para que el producto de dos números valga 0, es necesario que uno de ellos sea 0, por consiguiente x = 0 o ax + b = 0

la primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: ax + b = 0

restando b a ambos lados, se tiene ax = – b

dividiendo entre a x = – b / a

 

Ejemplo ilustrativo

Resolver las ecuaciones:

1) 9x ² + 36x = 0

2) 5x ² – 19x = 0

Solución:

1) 9x ² + 36x = 0

Sacando factor común x, x( 9x + 36 ) = 0

Luego x = 0 O 9x + 36 = 0

Por consiguiente la soluciones son x = 0 y x = – 4

2) 5x ² – 19 = 0

x( 5x – 19 ) = 0 x = 0 y x = 19 / 5

 

Cuarto caso: Dada ecuación ax ² + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces

ax ² + bx + c = 0. Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un estudio especial, cuyo procedimiento de describe a continuación:

Sea ax ² + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en términos de a, b y c, completando cuadrados, de manera que el trinomio sea cuadrado perfecto. Primero se divide entre a la ecuación

ax ² + bx + c = 0 → x ² + x + = 0

x ² + x + = 0 → x ² + x = –

Ahora se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos lados:

x ² + x + = – +

Estos valores de x son las soluciones de la ecuación ax ² + bx + c = 0. Se ha obtenido así la fórmula cuadrática que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, simplemente sustituyendo los valores de a, b y c en dicha fórmula.

 

Ejemplo ilustrativo

Aplicando la fórmula cuadrática resolver las siguientes ecuaciones:

1) 6x ² – 11x – 10 = 0

2) x ² – 11x + 10 = 0

3) 4x ² – 4x + 1 = 0

4) x ² – 5x + 9 = 0

Solución:

1) 6x ² – 11x – 10 = 0

Al sustituir por a = 6, b = – 11 y c = – 10 en

El conjunto de las soluciones es

***2) x ² – 11x + 10 = 0

Al sustituir por a = 1, b = – 11 y c = 10 en

resulta:

El conjunto de las soluciones es

Hay algunas ecuaciones cuadráticas que fácilmente se pueden resolver factorizando, como es el caso de x ² – 11x + 10 = 0.

Se presenta a continuación otra manera para resolverla:

Sea x ² – 11x + 10 = 0 ( x – 10 )( x – 1 ) = 0

Luego x = 10 y x = 1

3) 4x ² – 4x + 1 = 0

Esta expresión de segundo grado es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que su solución se facilita factorizando

4x ² – 4x + 1 = 0 → ( 2x – 1 ) ² = 0

por consiguiente 2x – 1 = 0 →

4) 5x ² + 8x + 5 = 0

Al sustituir por a = 5, b = 8 y c = 5 en

resulta:

Obsérvese que no tiene solución real. Usualmente se acostumbra decir que no tiene solución, y es porque se trabaja en los números reales. Lo que se debe decir es que no tiene solución en el campo de los números reales, debido a que en el campo de los números complejos si tiene solución. Recuérdese, lo siguiente:

= y como i = , se tiene: = 6i

El conjunto de soluciones es:

Finalmente, se mostrará cómo obtener información acerca del carácter de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. En la fórmula cuadrática :, la cantidad subradical recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de las raíces puede determinarse obteniendo el valor del discriminante, por los que:

1.- Si =0 , la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir tiene una raíz doble

2.- Si >0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes

3.- Si < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre sí.

 

Ejemplo ilustrativo

Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 4x ² – 4x + 1 = 0

2) x ² – 11x + 10 = 0

3) 5x ² + 8x + 5 = 0

Solución:

1) 4x ² – 4x + 1 = 0

= ( – 11 ) ² – 4.1.10 = 121 – 40 = 81 > 0

La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral 2, y cuya solución fue

3) 5x ² + 8x + 5 = 0

= ( 8 ) ² – 4.5.5 = 64 – 100 = – 36 < 0

La ecuación tiene dos raíces imaginarias y diferentes como se demostró en el ejemplo anterior numeral 4, y cuya solución fue

 

Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de primer y segundo grado

Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son expresiones racionales. Son ejemplos de ecuaciones racionales:

 

Ejemplo ilustrativo

Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Solución:

1)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que x ≠ 0.

El m.c.m. de: 8, 2x y x es 8x.

Multiplicando por 8x todos los términos de la ecuación:

restando 4 a ambos lados

3x = 12 dividiendo entre 3 ambos lados

x = 4

 

Nota importante: Al resolver una ecuación racional, se debe comprobar que el resultado obtenido satisface dicha ecuación.

Comprobación:

2)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que z ≠ 4 y z ≠ – 6. El m.c.m. de: (4 – z) y (z + 6) es (4 – z).(z + 6). Multiplicando por (4 – z).(z + 6) todos los términos de la ecuación:

z + 6 + 3(4 – z) = 0

z + 6 + 12 – 3z = 0 eliminando el paréntesis

18 – 2z = 0 agrupando términos semejantes

– 2z = – 18 restando 18 a ambos lados

z = 9 dividiendo entre – 2 ambos lados

Comprobación:

0 = 0

3)

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir que x ≠ – 2 y x ≠ – 4.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 4) es (x + 2).(x + 4).

Multiplicando por (x + 2).(x + 4) todos los términos de la ecuación:

( x – 2 ).( x + 4 ) = ( x – 4 ).( x + 2 )

x ² + 2x – 8 = x ² – 2x – 8 efectuando los productos notables

2x – 8 = – 2x – 8 restando x ² a ambos lados

2x = – 2x sumando 8 a ambos lados

4x = 0 sumando 2x a ambos lados

x = 0 dividiendo entre 4 ambos lados

Comprobación:

– 1 = – 1

4)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 2 y x ≠ – 1.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 1) es (x + 2).(x + 1).

Multiplicando por el m.c.m. todos los términos de la ecuación:

( 3x + 1 ).( x + 1 ) = ( 3x – 2 ).( x + 2 )

3x ² + 4x + 1 = 3x ² + 4x – 4 efectuando los productos notables

4x + 1 = 4x – 4 restando 3x ² a ambos lados

1 = – 4 restando 4x a ambos lados

Lo cual es falso, por lo tanto no hay valor de x que satisfaga dicha ecuación, luego la solución es Ø.

5)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 4 y x ≠ 4.

Multiplicando por el m.c.m., que es ( x + 4 )( x – 4 ), todos los términos de la ecuación:

5( x – 4 ) + 3( x + 4 ) = 24

5x – 20 + 3x + 12 = 24 efectuando los productos

8x – 8 = 24 agrupando términos semejantes

8x = 32 sumando 8 a ambos lados

x = 4 dividiendo entre 8 ambos lados

Comprobación:

El valor obtenido no satisface la ecuación, pues la división entre 0 no esta definida. Además, este valor se ha descartado al comenzar a resolver el ejercicio. Por consiguiente, la solución es Ø.

6)

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ 0 y x ≠ – 1.

Multiplicando por el m.c.m., que es x( x + 1 ), todos los términos de la ecuación:

( 2x – 5 )x = 3 efectuando el × y restando 3 a ambos lados

2x ² – 5x – 3 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado

Para que estos dos valores sean solución, debe realizarse su verificación en la ecuación original.

Comprobación:

Para x = 3

x = 3 la satisface

Para x = – 1 / 2:

x = – 1 / 2 la satisface

El conjunto de las soluciones es

Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones irracionales:

Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y BA = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A ⁿ = B ⁿn es cualquier entero positivo. son dos expresiones algebraicas, entonces donde

Ejemplo:

La ecuación: x = 10

tiene por conjunto de soluciones { 10 }. Si se eleva al cuadrado ambos lados se obtiene: x ² = 100

tiene por conjunto de soluciones { ± 10 }. El conjunto solución de la primera ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.

 

Ejemplo ilustrativo

Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Solución:

1)

restando x a ambos lados

elevando al cuadrado ambos miembros

resolviendo las potencias

agrupando términos semejantes

( x – 10 )( x – 2 ) = 0 factorizando

por consiguiente: x = 10 o x = 2

Comprobación:

Para x = 2

5 = 5 es solución

Para x = 10

15 = 5 es falso

No satisface la ecuación original, y se le denomina solución extraña, la cual se introdujo cuando se elevaron ambos miembros al cuadrado

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 2 }.

2)

Sumando a ambos lados

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Elevando al cuadrado ambos miembros

Dividiendo entre 4

Comprobación:

1 = 1 es solución

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 1 }.

3)

El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar 0, por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es Ø

4)

Elevando a la cuatro ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Dividiendo entre 2 ambos miembros

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Sumando 2 a ambos miembros

Comprobación:

es solución

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4902 }.

5)

Multiplicando por el m.c.m que es

Resolviendo los productos

Elevando al cuadrado ambos miembros

x ² – 4x + 4 = x Resolviendo las potencias

x ² – 5x + 4 = 0 Restando x a ambos miembros

( x – 4 )( x – 1 ) = 0 Factorizando

Por consiguiente x = 4 o x = 1

Comprobación:

Para x = 4

2 – 1 = 1 _→ 1 = 1 es raíz

Para x=1:

1 – 2 = 1

– 1 = 1 no es raíz

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 4 }.

6)

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Sumando a ambos lados

Elevando al cuadrado ambos miembros

Resolviendo las potencias

Agrupando términos semejantes

Por consiguiente, x = 0

Comprobación:

2 = 2 es raíz

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 0 }.

 

Ejercicios propuestos

Encontrar el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 1 – 3(2x – 4 ) = 4( 6 – x ) – 8

2) 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x

3) 16y – [ 3y – ( 6 – 9y ) ] = 30y + [ – ( 3y + 2 ) – ( y + 3 ) ]

4) 10( m – 9 ) – 9( 5 – 6m ) = 2( 4m – 1 ) + 5( 2m + 1 )

5) ( w + 1 )( w – 2 ) – ( 4w – 1 )( 3w + 5 ) – 6 = 8w – 11( w – 3 )( w + 7 )

6) ( 4 – 5x )( 4x – 5 ) = ( 10x – 3 )( 7 – 2x )

7)

8)

9)

10) a( y – a ) – 2b( y – 3b ) = ab

11)

12)

13) 4x ² – 9 = 0

14) x ² – 3x – 10 = 0

15) x ² + 6x + 9 = 17

16) m ² – 5m = 6 17) 3x ² – 7x + 2 = 0

18) x ² = 3x 19) 25x ² + 2 = 15x

20) 2x ² – 5x + 1 = 0 21) 2x ² = 3x + 1

22) ( x + 4 ) ² = 2x( 5x – 1 ) – 7( x – 2 )

23) ( 5x – 4 ) ² – ( 3x + 5 )( 2x – 1 ) = 20x( x – 2 ) + 27

24) ( x + 2 )( x – 1 ) – ( x + 4 )( 2x – 3 ) + 14 = x

25) x ² + 3x + 4 = 0

26) 3x( x – 2 ) – ( x – 6 ) = 23( x – 3 )

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

 

Respuestas:

1) { – 3 / 2 } 2) { 1 / 3 }

3) { 1 / 2 } 4) { 3 }

5) { 13 } 6) { 1 / 35 }

7) { 19 } 8) { – 4 }

9) { – 1 / 2 } 10) y = a + 3b con a ≠ 2b

11) x = 3a – 5b con a ≠ – b 12) x = 2( a + b ) con a ≠ b

13) { ± 3 / 2 } 14) { – 2 , 5 }

15) 16) { – 1 , 6 }

17) { 1 / 3 , 2 } 18) { 0 , 3 }

19) { 1 / 5 , 2 / 5 } 20)

21) 22) { – 1 / 9 , 2 }

23) { – 1 , – 6 } 24) { – 8 , 3 }

25) No tiene solución real,

26) { 5 } 27) { 1/2 }

28) { 8 } 29) { – 5 }

30) { – 42/11 , 2 } 31) { 3 }

32) { 3 / 4 , 6 } 33) { 5 / 2 , 4 }

34) { – 5 / 9 } 35) { 4 / 3 }

36) { 4 } 37) { 5 }

38) { 4 } 39) { 3 / 2 }

40) { – 4 , 2 } 41) { 2 }

42) { 4 } 43) { }

44) { – 2 / 3 , 3 } 45) { }

46) { 0 } 47)