Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x₀,
es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a
x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición |x - x₀| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio , existe un entorno de x₀, E_δ(x₀) , cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , E_ε(L).

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo

Dada la función:

Hallar

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x → a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Límites cuando x tiende a menos infinito

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero dividido por un número

Un número dividido por cero

Un número dividido por infinito

Infinito dividido por un número

Cero dividido por infinito

Infinito dividido por cero

Cero dividido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a^-n = 1/a ⁿ

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular

porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular

, aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a

trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha: límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Límite de funciones polinómicas en el

infinito

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Límite de la inversa de un polinomio en el

infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

Cálculo de límites cuando x → -∞

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

Límite de la función exponencial

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Límite de la función logarítmica

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Límites de logaritmos

Indeterminaciones

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación

1. Infinito dividido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero dividido por cero

4. Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Hallar los límites por comparación de infinitos:

Límite de un número dividido por cero

El límite puede ser +∞, −∞ ó no tener límite.

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por lo que el límite por la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será positivo y el denominador negativo, por lo que el límite por la derecha será: − ∞.